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初中数学知识点总结:奥数30条知识点总结

2016-11-7 17:23| 发布者: jikezxw| 查看: 1625| 评论: 0

摘要: 30大奥数知识点回顾:  1.和差倍问题  和差问题和倍问题差倍问题  已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数  公式适用范围已知两个数的和,差,倍数关系  公式①(和-差)÷2=较小数   ...
2018升初一
30大奥数知识点回顾:
 
  1.和差倍问题
 
  和差问题和倍问题差倍问题
 
  已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数
 
  公式适用范围已知两个数的和,差,倍数关系
 
  公式①(和-差)÷2=较小数
 
  较小数+差=较大数
 
  和-较小数=较大数
 
  ②(和+差)÷2=较大数
 
  较大数-差=较小数
 
  和-较大数=较小数
 
  和÷(倍数+1)=小数
 
  小数×倍数=大数
 
  和-小数=大数
 
  差÷(倍数-1)=小数
 
  小数×倍数=大数
 
  小数+差=大数
 
  关键问题求出同一条件下的
 
  和与差和与倍数差与倍数
 
  2.年龄问题的三个基本特征:
 
  ①两个人的年龄差是不变的;
 
  ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
 
  ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
 
  3.归一问题的基本特点:
 
  问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
 
  关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量;
 
  4.植树问题
 
  基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树封闭曲线上植树
 
  基本公式棵数=段数+1
 
  棵距×段数=总长棵数=段数-1
 
  棵距×段数=总长棵数=段数
 
  棵距×段数=总长
 
  关键问题确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系
 
  5.鸡兔同笼问题
 
  基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;
 
  基本思路:
 
  ①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
 
  ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
 
  ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
 
  ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
 
  基本公式:
 
  ①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
 
  ②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
 
  关键问题:找出总量的差与单位量的差。
 
  6.盈亏问题
 
  基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
 
  基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
 
  基本题型:
 
  ①一次有余数,另一次不足;
 
  基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
 
  ②当两次都有余数;
 
  基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
 
  ③当两次都不足;
 
  基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
 
  基本特点:对象总量和总的组数是不变的。
 
  关键问题:确定对象总量和总的组数。
 
  7.牛吃草问题
 
  基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
 
  基本特点:原草量和新草生长速度是不变的;
 
  关键问题:确定两个不变的量。
 
  基本公式:
 
  生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
 
  总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
 
  8.周期循环与数表规律
 
  周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。
 
  周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
 
  关键问题:确定循环周期。
 
  闰年:一年有366天;
 
  ①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
 
  平年:一年有365天。
 
  ①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
 
  9.平均数
 
  基本公式:①平均数=总数量÷总份数
 
  总数量=平均数×总份数
 
  总份数=总数量÷平均数
 
  ②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
 
  基本算法:
 
  ①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算.
 
  ②基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式②。
 
  10.抽屉原理
 
  抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
 
  例:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:
 
  ①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
 
  观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
 
  抽屉原则二:如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:
 
  ①k=[n/m]+1个物体:当n不能被m整除时。
 
  ②k=n/m个物体:当n能被m整除时。
 
  理解知识点:[X]表示不超过X的最大整数。
 
  例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
 
  关键问题:构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。
 
  11.定义新运算
 
  基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
 
  基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
 
  关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。
 
  注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
 
  ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
 
  12.数列求和
 
  等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
 
  基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示;
 
  项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示;
 
  公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;
 
  通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;
 
  数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.
 
  基本思路:等差数列中涉及五个量:a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
 
  基本公式:通项公式:an=a1+(n-1)d;
 
  通项=首项+(项数一1)×公差;
 
  数列和公式:sn,=(a1+an)×n÷2;
 
  数列和=(首项+末项)×项数÷2;
 
  项数公式:n=(an+a1)÷d+1;
 
  项数=(末项-首项)÷公差+1;
 
  公差公式:d=(an-a1))÷(n-1);
 
  公差=(末项-首项)÷(项数-1);
 
  关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;
 
  13.二进制及其应用
 
  十进制:用0~9十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
 
  =An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
 
  注意:N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)
 
  二进制:用0~1两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
 
  (2)=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+……+A3×22+A2×21+A1×20
 
  注意:An不是0就是1。
 
  十进制化成二进制:
 
  ①根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
 
  ②先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。
 
  14.加法乘法原理和几何计数
 
  加法原理:如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:m1+m2.......+mn种不同的方法。
 
  关键问题:确定工作的分类方法。
 
  基本特征:每一种方法都可完成任务。
 
  乘法原理:如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:m1×m2.......×mn种不同的方法。
 
  关键问题:确定工作的完成步骤。
 
  基本特征:每一步只能完成任务的一部分。
 
  直线:一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。
 
  直线特点:没有端点,没有长度。
 
  线段:直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
 
  线段特点:有两个端点,有长度。
 
  射线:把直线的一端无限延长。
 
  射线特点:只有一个端点;没有长度。
 
  ①数线段规律:总数=1+2+3+…+(点数一1);
 
  ②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
 
  ③数长方形规律:个数=长的线段数×宽的线段数:
 
  ④数长方形规律:个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
 
  15.质数与合数
 
  质数:一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
 
  合数:一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
 
  质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
 
  分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
 
  分解质因数的标准表示形式:N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1<a2<a3<……<an。
 
  求约数个数的公式:P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
 
  互质数:如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。
 
  16.约数与倍数
 
  约数和倍数:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
 
  公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
 
  最大公约数的性质:
 
  1、几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。
 
  2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
 
  3、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。
 
  4、几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
 
  例如:12的约数有1、2、3、4、6、12;
 
  18的约数有:1、2、3、6、9、18;
 
  那么12和18的公约数有:1、2、3、6;
 
  那么12和18最大的公约数是:6,记作(12,18)=6;
 
  求最大公约数基本方法:
 
  1、分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
 
  2、短除法:先找公有的约数,然后相乘。
 
  3、辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
 
  公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
 
  12的倍数有:12、24、36、48……;
 
  18的倍数有:18、36、54、72……;
 
  那么12和18的公倍数有:36、72、108……;
 
  那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;
 
  最小公倍数的性质:
 
  1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
 
  2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
 
  求最小公倍数基本方法:1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
 
  17.数的整除
 
  一、基本概念和符号:
 
  1、整除:如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。
 
  2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”;
 
  二、整除判断方法:
 
  1.能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。
 
  2.能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
 
  3.能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
 
  4.能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。
 
  5.能被7整除:
 
  ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
 
  ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
 
  6.能被11整除:
 
  ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
 
  ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
 
  ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
 
  7.能被13整除:
 
  ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
 
  ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

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