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三角函数简史之数与弦

2016-10-27 11:22| 发布者: jikezxw| 查看: 1554| 评论: 0

摘要: 角的概念会产生歧义,因为他既描述了两条相交直线之间“分离”这个定性的概念,也描述了这种分离程度的数值(角的度量),而在两个点之间的“分离”上却没有这种歧义,因为线段和长度这两个概念能分得很清楚。好在我 ...
2018升初一

       角的概念会产生歧义,因为他既描述了两条相交直线之间“分离”这个定性的概念,也描述了这种分离程度的数值(角的度量),而在两个点之间的“分离”上却没有这种歧义,因为线段和长度这两个概念能分得很清楚。好在我们不需要担心这种混淆,因为在三角学中,我们只关注线段与角的性质当中可以量化的部分。——《三角之美》

  三角学算是最古老的学科了,真要说起来,它的历史比平面几何还早,当然如果把早期的三角学计算也算作平面几何的一部分的话那另当别论。如今我们中学生接触三角学,是以直角三角形为基准,各边之比的定义得来的,然后到了高中就将三角函数定义放到圆和坐标系里,这一点倒是符合三角学的历史发展的,数学史上第一份三角学资料,也是拿来解直角三角形。

  一:角度

  平面上的运动只有两种——平移和旋转。平移的程度由距离和面积来度量,而旋转的程度则由角度来度量,对长度的定义一直以来都没什么难度,确定一个单位长度标准就行了。对角度的定义却没那么简单——角度描述两条相交直线之间的相离程度,到底多大程度才能定为一个标准?相对于距离来说,角度的大小更充满“定性”的味道。好在巴比伦人利用了圆这一个标准——他们将圆从圆心分成了360份,要衡量一个角度大小,只需要将角度的顶点与圆心重合,算出对应的弧长占圆周长的百分数,就能够衡量这个角的大小了。所以利用圆来衡量角度,大概是古人早已发现圆周角所对弧长与圆周角之间简单的比例关系。圆与三角学的关系,从一开始就密不可分,往后也是。至于巴比伦人为何将圆分为360分,具体原因以及不可考,但很明显,这与巴比伦人一贯使用的六十进制有很大关系。其中有一个解释是,因为巴比伦人使用的是六十进制,所以实际上它们是将一个圆分成了六个进制,这样的一个好处就是分出来的每一份中对应的弦长与半径相等。另一个解释就是360份恰与一年的天数很接近。当然从未有任何证据说明这一点,一切都只是猜测,所以对于360°的规定的具体原因已经不知。但这利用圆来衡量角度的方法一直很有效,流传至今。不久之后,希腊人采用了这一套系统,托勒密在他的《至大论》中就使用了这一系统。

  一直以来,六十进制作为一种计数法,早已被十进制淘汰,但作为角度和时间的度量却一直流传下来,这种制度是如此受欢迎,即使是在“公制化的创始地”法国也无法被替代。这倒是很有趣的现象。

  到了近代,出现了另一种度量制度——弧度制,1弧度就是圆上的弧长等于半径时所对的圆心角。我们经常听说采用弧度制的原因是能够用较小的数字表示角。实际上并非如此,采用弧度制的唯一原因是他能够简化许多公式,比如弧长公式将变成l=αr,扇形面积公式也将变得非常简单,弧度的应用去除了这些公式中“多余”的因子π/180.

  另一个事实是,弧度的采用将使得这个事实成立:一个很小的角和他的正弦值在数值上是近似相等的,也就是sinx/x在x趋于零时其极限值趋近于1,这种近似若采用弧度制将使得在x不是很小的时候就变得非常接近。因此使得弧度制在微积分学中变得非常重要。

  二:弦

  三角学一开始和圆扯上了关系,然后就与角度所对的弦长扯上了关系。在数学发展初期的巴比伦时期,人们就已经发现了三角形相似的性质,最后传到希腊,得到了进一步的应用,人类历史上第一位数学家泰勒斯据此计算出了埃及金字塔的高度,可谓是一大奇闻。现代意义上的“三角学”一词,说来还得多亏了天文学,天文学的发展急需科学家求解各种各样的三角形,那时候自然还没有我们今日的什么正弦定理余弦定理可用。有一位叫西巴尔卡斯的科学家在这方面迈出了重要一步:他将三角形置于圆中,这样三角形的边就变成了弦,为了计算三角形的各部分,就必须考察圆心角与弦长的关系。这事情自此以后成为了各个数学家在这方面的研究重点。

  第一本三角学著作出自于托勒密之手,他编制出了第一套“正弦函数表”,当然并无正弦这一概念,这个表格继承了西巴尔卡斯的工作,列出了角度从0°~180°变化时,对应的弦长,托勒密取将圆的半径定为60单位长度,为了方便,我们就不谈六十进制了。实际上相当于十进制中取10为半径,根据我们现在的认识,知道托勒密的表格实际上就是给出了一个sin(α/2)表:

  d=2rsin(α/2)=20sin(α/2)

  今天我们可以看到一个有趣的现象,在圆心角α与弦长d之间的关系重,我们需要先把圆心角除以2,最后的结果还要乘以20,这实际上是一个重复的过程,重复做这样的工作只是在浪费时间而已,几百年以后,终于有人将此表简化,不再考虑圆心角与弦长的关系,而是考察“弦长的一半”与“圆心角的一半”之间的关系。我们可以看出,这一看起来貌似简单的简化其实是一次伟大的进步——本来只是等腰三角形的顶角与底边的关系,现在变成了直角三角形一锐角与对边的关系。如果我们注意到“圆周角是圆心角的一半”这个结论,实际上这一进步以及在孕育着正弦定理。往后三角学正式慢慢脱离圆的束缚,转向了以直角三角形为基础,我们今天熟知的正弦余弦之比的定义由此变得清晰起来。


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