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“懒人”的算术——代数学的产生

2016-10-27 11:21| 发布者: jikezxw| 查看: 1512| 评论: 0

摘要: 我们一~六年级学的数学内容,主要是算术,到七年级就学代数了。算术和代数到底是怎么回事?你看了下面的短文就知道了。   算术是数学的始祖,古希腊时期的算术一词,专指数的理论,它与实用的计算技术有明显的不 ...
2018升初一

       我们一~六年级学的数学内容,主要是算术,到七年级就学代数了。算术和代数到底是怎么回事?你看了下面的短文就知道了。

  算术是数学的始祖,古希腊时期的算术一词,专指数的理论,它与实用的计算技术有明显的不同。这种区别一直保持到中世纪,印度——阿拉伯数学传入欧洲后,才把数的理论称为“数论”,把数的计算称为“算术”。

  初等代数是算术的符号化,有了符号,便可以抛开具体的数字,抽象的定义运算,并研究运算律。在此基础上,形成一个理论体系,回头用通性通法去解决算术问题。代数把算术提高到一个新的水平,但却比算术容易,这就是符号化的功绩。

  在把算术的符号化方面作过贡献的首先是丢番图。丢番图在他的著作《算术》中首先使用字母表示未知数和一些运算规则,这是近代符号代数学的嚆矢。丢番图将未知量称为“题中的数”,记为δ(相当于现在的未知数x),将未知数的平方、立方、四次方、五次方分别记作δγ、kγ、δγδ、δkγ,用sx表示,用“↑”表示“减号”,用“l”表示“等号”。在此之前,代数学书中没有符号,推理也没有等式,只有大段的说理文章。丢番图在代数学中引用了一大套代数符号,把代数学中的方程从冗繁的语言文字表示成简洁的符号,尽管丢番图的符号基本上是一些文字的缩写,而且也不完整,但是他使代数学的发展向符号代数迈出了重要的一步,因而数学史书中称丢番图是代数学的鼻祖。

  代数学是数学中的一个重要的基础性的分支学科。初等代数学是由古代的算术推广和发展而来的,抽象代数学则是在初等代数学的基础上于十九世纪发展形成的。初等代数学亦称古典代数学,是实数和复数及以它们为系数的多项式的代数运算的理论和方法。初等代数学的中心问题就是多项式方程(代数方程)和方程组的求解问题。因此,初等代数学有时也称为方程论。

  在以方程论为中心的古典代数学的发展中,阿拉伯数学家作出了独特的贡献,花拉子模就是代表。

  花拉子模出版了一本以“代数”命名的重要著作,此书主要讨论了一元二次方程的解法。这些解法是用一个一个解方程的例子来阐述的。从解法看,花拉子模已经完成了今天的二次方程的求根公式,只不过当时他还没有负根的概念。据说花拉子模已经意识到了一元二次方程有两个根,但他那时并未弄清这一问题。

  系统采用了数学符号的代数的产生构成了近代数学的一个开端。在符号代数的形成过程中,韦达做出了重要的贡献。

  韦达在研究方程问题的过程中创立符号代数,他系统地利用字母来表示方程中的量:用辅音字母b、c、d等表示已知量,用元音字母a等表示未知量,用aquadratus表示a2,acubus表示a3。并将这些量的运算称为“类的运算”,与用于确定数目的“数的运算”相区别。对这种类,韦达借用欧几里得《几何原本》中对量所作的规定,即“整体等于部分之和”、“等量加等量其和相等”等公理及某些运算性质,使类的运算法则符号于通常的数的运算法则。这样,一方面,使他的方法对数和几何量在使用上是一致的,另一方面,使这种“类”成为任意的数的代表。表示类的字母就成为一般意义下的数学符号。由此,人类迈出了符号代数的决定性的一步,代数成为研究用数学符号表示的一般的类的学问。从这一点出发,韦达给出方程的一个定义:一个方程是一个未知量与一个确定量的比较。并以此对一些传统的几何学问题作了一些新的探讨,例如,把尺规作图问题与二次方程问题联系起来,把求某一几何量转化为求某一相应方程中的未知量。

  韦达的这些工作极大地推动了代数学的发展,因此,他在西方被称为“代数学之父”。

  继韦达之后,笛卡尔再次对韦达等建立的字母系统作了改进,用英文字母表中最前面的字母a、b、c等表示已知量,而靠后的字母x、y、z等表示未知量,终于使字母表示数的地位在代数学上确立起来。

  德国著名数学家克莱茵指出:“代数学上的进步是引进了较好的符号体系,这对它本身和分析的发展比十六世纪技术上的进步远为重要。事实上,采取了这一步,可使代数有可能成为一门科学。”



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